生日大合唱哇哇哇乌阿乌阿乌阿……

生日大合唱哇哇哇乌阿乌阿乌阿… {#生日大合唱哇哇哇乌阿乌阿乌阿 .unnumbered}

五月里的一个晴朗日子，乌龟遇见了阿基里斯，两人便一起漫步在树林里。阿基里斯穿得漂漂亮亮，摇头晃脑地哼着一段曲子，别在他衬衣上的一枚硕大的徽章上写着：“今天是我生日！”

乌龟：你好啊，阿基，什么事让你这么高兴？是不是赶上你生日了？

阿基里斯：对，对！是的，今天是我的生日！

乌龟：我猜也是。你那徽章上写着呢。而且，要是我没听错的话，你唱的是巴赫的《生日大合唱》。那是他1727年为萨克森国王奥古斯都五十七岁生日而写的。

阿基里斯：你说的对。奥古斯都的生日和我一样，所以这首《生日大合唱》就有双重意义。不过我不想告诉你我的年龄。

乌龟：喔，这完全在你。可我想知道另外一件事，从你已经告诉我的这些情况里，就能得出结论说今天是你的生日，对吗？

阿基里斯：对，对！完全正确。今天是我的生日。

乌龟：好极了。这正和我猜的一样。我将要推定今天是你的生日，除非------

阿基里斯：------除非什么？

乌龟：除非那是一个轻率仓促给出的推断。我们乌龟毕竟不喜欢跳跃推理（我们压根就不喜欢跳，尤其不喜欢跳跃推理。）我深知你也喜欢逻辑思维，那么请问，根据前面那些话，从逻辑上演绎出今天是你的生日，合理不合理？

阿基里斯：我相信我已经看出你提问题的规律了，龟兄。但我这回不跳着推理了，我要按字面意思对待你的问题，直截了当地回答你：是。

乌龟：好！好！那就只有一件事了，我需要知道它以便完全确定今天是------

阿基里斯：对，对，对，对…我明白你要问些什么，龟兄。我得让你知道，我已不像不久前讨论欧几里得证明时那么容易上当了。

乌龟：哪儿的话呀，谁说过你容易上当啦？正相反，我倒认为你是逻辑思维方面的专家、演绎科学的权威、正确推理方法的泰斗…说真的，阿基，依我看，你是推理艺术的巨匠。正因为如此，我要问你：“前面那些话是否提供了足够的证据，使我不用再费脑筋就能推出今天是你的生日？”

阿基里斯：你对我真是过重了，龟兄，噢，我是说------过奖了！不过我注意到了你在翻来覆去地提类似的问题------要我说，你（就跟我一样）每次都能回答”是”。

乌龟：我当然能，阿基。可要是那样做就得靠运气了，而我们乌龟------不像那些瞎猫------讨厌撞见死耗子这种事，乌龟只肯作合理猜测。啊，是的------合理猜测的威力。你想象不出有多少人在作猜测的时候，没有把全部的相关因素都考虑进去。

阿基里斯：依我看，我觉得这一大堆废话里只有一个相关因素，那就是我的头一句话。

乌龟：嗯，的确，我承认它至少是一个该考虑的因素------不过，你不会要我无视逻辑吧？那可是一门受人尊敬的学问，作合理猜测时，逻辑永远是一个相关因素。现在，既然有一位著名的逻辑学家和我在一起，我在思考时就只按符合逻辑的方式借助刚才那个因素，并且要通过直接问你我的直觉是否正确来证实我的预感。因此，我最后还是得直截了当地问问你：“上面那些话是否可以让我丝毫不差地推出今天是你的生日？”

阿基里斯：我再说一遍：是。不过坦率地说，我明确地感到你自己已经可以给出答案了，就像前面几次一样。

乌龟：你也太刻薄了！我倒真想能如你所说的那么聪明呢！可我只不过是只普普通通、极为无知的乌龟，渴望考虑到全部的相关因素，所以我需要所有这些问题的答案。

阿基里斯：那好，我就来一劳永逸地解决这个问题。你先前所提的全部问题，以及你今后按这种方式将提出的全部问题，答案都一样，那就是：是。

乌龟：好极了！一网打尽。你用自己独创的方法，避免了所有麻烦。我把这个巧妙的发明叫做答案模式，你不会见怪吧？答案模式把第一个”是”答案、第二个”是”答案、第三个”是”答案等等，统统缠在一起。事实上，当它缠下去一直缠到头时，它该有个名称：“ω答案模式”，“ω”是最末一个希腊字母------我不必给你讲这个了吧？

阿基里斯：我不在乎你叫它什么。现在我总算轻松了，你终于承认了今天是我的生日。现在我们可以谈点别的了------比如说，你打算送我什么礼物？

乌龟：等会儿------别这么急。我会承认今天是你的生日，只是要有一个条件。

阿基里斯：什么条件？是我不要礼物吗？

乌龟：不是不是。阿基，我其实正打算招待你一顿丰盛的生日晚餐------只要你让我确信，一下子给出全部那些”是”答案（由ω答案模式给出的），我就能不绕弯子而直接推出今天是你的生日。是这么回事吧？

阿基里斯：对，就是这么回事。

乌龟：好，那我现在就有第ω+1个”是”答案了。有了它以后，我就可以进一步来试着接受今天是你生日这个假设------如果上面那种做法有效的话。你是不是能在这件事上给我当当顾问，阿基？

阿基里斯：都是些什么呀？我已经看穿了你那个无穷把戏。你不是不满足于第ω+1个”是”答案吗？那好，我就不光给你第ω+2个”是”答案，而且还给你第ω+3个，第ω+4个，一直给下去。

乌龟：你真大方，阿基。今天是你的生日，该我送你礼物而不是反过来让你送我。直说了吧，我怀疑今天是不是你的生日。现在，有了这个新的答案模式（我要叫它2ω答案模式），我想我可以推出今天是你的生日了。不过请你告诉我，阿基，2ω答案模式确实能使我完成这一飞跃吗？我是不是又漏掉了什么东西？

阿基里斯：你用不着再来套我。我已经有办法结束这场无聊的游戏了。我给你一个结束全部答案模式的答案模式！也就是说，我同时给你一系列答案模式：ω，2ω，3ω，4ω，5ω，一直下去。用这个元答案模式，我跳出整个系统，一了百了，超越了你自以为套住了我的这个无聊游戏------现在完事大吉了！

乌龟：嗬！阿基，我很荣幸能接受这样一个强有力的答案模式。我觉得它一定是很少见的，人的头脑竟能发明出如此庞大的东西，我看着都害怕。我来为你这一馈赠起个名字吧，你看如何？

阿基里斯：随你便。

乌龟：那我就叫它”ω^2^答案模式”。我们马上就可以干别的了------不过你要告诉我，有了ω^2^答案模式，我是否就能推导出今天是你的生日？

阿基里斯：唉，真倒霉！这一连串恼人的问题还有没有个完？下一个该什么啦？

乌龟：哦，ω^2^答案模式之后，还有第ω^2^+1个答案。然后还有第ω^2^+2个，一直下去。不过你又可以把它们全打成一捆，作为ω^2^+ω答案模式，然后就会有其它的捆，诸如ω^2^+2ω、ω^2^+3ω…最后，能到达2ω^2^答案模式，这后面，又有3ω^2^答案模式和4ω^2^答案模式。它们后面，还有更进一步的答案模式，诸如ω^3^、ω^4^、ω^5^等等。就是这么进行下去，颇有些共同风格呢。

阿基里斯：我能想象了。我看，过一会就该到ω^ω^答案模式了。

乌龟：那当然。

阿基里斯：然后是ꪣ和ꪤ对吗？

乌龟：你领会的快极了，阿基。要是你不介意，我想提个建议：你干嘛不把这些答案模式全都塞进单独一个答案模式里去呢？

阿基里斯：好吧，我真怀疑这样做能有什么结果。

乌龟：依我看，我们至今所提出的命名惯例显然都不适于给它命名。我们随便起个名字。叫它ε0答案模式吧。

阿基里斯：真讨厌！每次都给我的答案起个名字。我本希望这个答案能使你满意，可这么一来我的希望立刻又落空了。我们刚才干嘛不留着这个答案模式不起名字呢？

乌龟：哪有那么容易！不起名字就没法称呼它了。此外，这个特别的答案模式是有点不可避免的，而且还相当漂亮，要是连名字都没有就太不雅观了！你过生日时总不想做些什么观之不雅的事情，对吗？或者，今天不是你的生日吧？要说生日，今天该是我的生日！

阿基里斯：什么？今天是你的生日？

乌龟：对，没错。不过说老实话，今天是我叔叔的生日，但那差不多是一回事。今天晚上你打算怎么请我吃美味可口的生日晚餐啊？

阿基里斯：得了吧，老龟！今天是我的生日，该你作东！

乌龟：啊，可你一直没说服我相信你这个说法是真的。你热衷于用那些答案、答案模式等等东拉西扯，可我想知道的是：今天是不是你的生日。你整个把我搞晕了。唉，太不幸了。不过，无论如何，你今晚要是请我吃一顿生日晚餐，我将十分高兴。

阿基里斯：那好吧，我正好知道一个地方，那里有各种各样可口的汤，而我也恰好知道我们该吃哪一种…